New PDF release: Analytische Methoden in der Theorie der

By Gerald Warnecke

ISBN-10: 3519002353

ISBN-13: 9783519002352

ISBN-10: 366309264X

ISBN-13: 9783663092643

Das Buch ist eine umfassende Darstellung der Beweismethodik des Existenzsatzes von Oleinik für skalare Erhaltungsgleichungen, den Tartar mit der Methode der kompensierten Kompaktheit gegeben hat. Dabei kommen verfeinerte Kompaktheitsargumente für schwach konvergente Folgen und eine Fülle analytischer Methoden zum Einsatz, die erheblich über die übliche Verwendung kompakter Einbettungen von Funktionenräumen hinausgehen. Der textual content setzt nur die üblichen Grundkenntnisse der research und der linearen Funktionalanalysis voraus. Kern des Buche sind vier Kapitel über schwache Konvergenz, verallgemeinerte Quasikonvexität, kompensierte Kompaktheit und Youngsche Maße. Im letzten Kapitel werden schwache Lösungen, maßwertige Lösungen, Entropiebedingungen und der Existenzbeweis von Tartar diskutiert. Das Buch ist als Grundlage einer einsemestrigen Vorlesung oder eines Seminars geeignet.

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Partielle Differentialgleichungen gilt. Wir betrachten speziell eine stetige Lösung dieser Gestalt auf der Ebene (t, y) E JR?. Dort sei eine stetig differenzierbare Kurve "~ = { (t, e(t)) 1 t E JR} gegeben. Zusätzlich nehmen wir an, die Lösung mengen D+ = { (t, y) 1 y > e(t) } und sei auf den disjunkten Teil- Q D- = { (t, y) 1 y < e(t) }, die durch die Kurve "/ getrennt werden, jeweils zweifach stetig differenzierbar. Auf die Kurve "( sollen alle Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetig fortsetzbar sein.

Y] = 'Q~, usw. die Sprünge in den Werten auf der Kurve"! bezeichnen. yJ(t, B) =f. , diese Ableitung sei unstetig längs der Kurve"(, während 'Q selbst stetig vorausgesetzt ist. 37) d 0 = dt['Q](t, B(t)) . y] =f. 0 vorausgesetzt ist, muß ( -Ö, v 1, ... 2, 'Q) für ein festes i E {1, ... , M} eine charakteristische Geschwindigkeit. Wir sehen wieder, daß auch in diesem Fall Unstetigkeiten in den ersten Ableitungen nur längs charakteristischer Flächen vorkommen können. h. ). y längs der Kurve "/. 3. Hyperbolische Systeme 61 Wir wollen das Verhalten der Funktion ß längs 'Y näher betrachten.

Dieses folgt aus dem Satz von Picard-Lindelöf. 3 Diese Kurven sind bezüglich 0 stetig differenzierbar. )dimensionale Fläche F. Es gilt F= { (t(0,2),x(0,2),v(0,2)) I (8,2) E D }. Aufgrund der stetigen Differenzierbarkeit von Q gilt nun aber auch, daß die Fläche F in 2 stetig differenzierbar ist. 4 Damit istFeine stetig differenzierbare Integralfläche. D 3 Siehe 4 Vgl. den Existenz- und Eindeutigkeitssatz in Walter [127]. B. Walter [127, §13, Satz X]. 1. Skalare Differentialgleichungen 33 Wie oben bemerkt, wird die soeben konstruierte Integralfläche nicht immer den Graphen einer Funktion v = v(t, x) mit (t, x) E lR x JRN darstellen.

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Analytische Methoden in der Theorie der Erhaltungsgleichungen by Gerald Warnecke


by Jeff
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